Série Infinita Do Número Pi De Convergência Demorada Para Uma Convergência Rápida
- AGC
- 16 de ago. de 2017
- 2 min de leitura
Atualização de -
Pesquisa Mat: Relação Entre A Série Infinita Do Número Pi De Convergência Demorada E Aplicação De Médias Aritméticas E Geométricas Para Possibilitar Uma Convergência Rápida - 24.10.2016-AGC
Pi é o o valor da resultado da divisão da circunferência pelo diâmetro.
Trata-se de um número irracional, isto é, se melhorarmos a sistemática de medições vamos achar infinitas casas depois da vírgula sem termos uma periodicidade como acontece com as dízimas periódicas.
Não precisamos aqui falar da importância do número pi, que é usado nas ciências e engenharia quase toda vez que encontramos curvas.
Gottfried W. Leibniz descobriu que pi:
Neste caso, pi pode ser descrito como uma série infinita. Então para acharmos quantas casas de pi depois da vírgula nos dias de hoje bastaria ligar o computador, multiplicarmos cada termo acima por 4 e acumularmos o valor em um memória que chamariamos de pi?
Bom! Não é tão fácil assim, pois a convergência para o número pi desta sequência é muito demorada como detalharemos a seguir.
Uma das relações mais estranhas que consegui achar em minhas divagações matemáticas, foi a relação entre a série infinita para se achar o valor de Pi com quantas casas depois da vírgula que quisermos, mas de convergência demorada, contudo com a aplicação de médias aritméticas e geométricas móveis, chegamos a uma convergência mais rápida. Vejamos isto em uma planilha de cálculo:
Podemos achar o valor de pi usando:
Em uma planilha de cálculo isto fica mais visível. Sabemos que o número Pi é encontrado com...
Todavia a convergência para pi= 3,14159265... mesmo se levarmos em consideração apenas 8 casas depois da vírgula é extremamente demorada, observe que nesta planilha estou acumulando o valor de pi aos pares somando um positivo e outro negativo da série acima. Veja o que aconteceu quando chegamos até a última linha que a memória desta planilha suporta:
Chegamos até a linha 65536 que a planilha eletrônica suporta e acumulamos 131066 termos somados e o número pi só convergiu para 3.1415850, isto é, apenas se chegou até a quarta casa. Haja planilha!
Me lembro que algumas vezes fiz este cálculo usando linguagens procedurais (pascal, clipper e mais tarde small basic) e cheguei a uma convergência para oito casas depois de algumas dezenas de centenas de milhares de termos acumulados (somados).
Até que descobri que se somarmos as médias aritméticas móveis de quatro em quatro (melhor?) conseguia uma convergência melhor, para a quarta coluna de média móvel subsequente. Veja:
Observe o cálculo até para o termo de número 80, a coluna de média aritmética número 5 praticamente chegamos a convergência que queriamos para o número pi com 8 casas depois da vírgula.
Bom! Simulei o mesmo cálculo com médias geométricas também móveis de colunas subsequentes, mas com médias aritméticas o resultado fornecido foi o de convergência mais rápida.
Ufa! Melhorou, pois das primeiras vezes que tentei isto estourei a memória dos meus antigos computares.